【题目】某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分为专业一等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金,且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图(1)是统计了该校年名学生周课外平均学习时间频率分布直方图,图(2)是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.
(Ⅰ)求这名学生中获得专业三等奖学金的人数;
(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过小时称为“努力型”学生,否则称为“非努力型”学生,列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关?
【答案】(Ⅰ)160人;(Ⅱ)有.
【解析】
(Ⅰ)根据题设条件和给定的频率分布直方图,即可计算这名学生获得专业三等奖学金的人数;
(Ⅱ)分别求得每周课外学习时间不超过小时的“非努力型”学生的人数和其中获得一、二等奖学金学生人数,以及每周课外学习时间超过小时称为“努力型”学生人数和其中获得一、二等奖学金学生人数,列出联表,利用公式求得的值,即可得到结论。
(Ⅰ)获得三等奖学金的频率为:
故这名学生获得专业三等奖学金的人数为人.
(Ⅱ)每周课外学习时间不超过小时的“非努力型”学生有
人,
其中获得一、二等奖学金学生有
;
每周课外学习时间超过小时称为“努力型”学生有人,
其中获得一、二等奖学金学生有人,
列联表如图所示:
“非努力型”学生 | “努力型”学生 | 总计 | |
获得一二等奖学金学生 | |||
未获得一二等奖学金学生 | |||
总计 |
,
故有的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,曲线的参数方程为:(为参数).
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)设曲线,交于点,,已知点,求.
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【题目】已知函数,
(Ⅰ)若在上的最大值为,求实数b的值;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,e],都有恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)当a=1时,求函数的单调区间;
(2)若在上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使函数的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知三棱柱,平面,P是内一点,点E,F在直线上运动,若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等,则满足条件的点P的轨迹是( )
A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分
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【题目】己知函数在处的切线方程为,函数.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)设(表示,中的最小值),若在上恰有三个零点,求实数的取值范围.
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【题目】已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,0),B(2,1),C(﹣2,3),试求:
(1)边AC所在直线的方程;
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程;
(3)BC边上的高AE所在直线的方程.
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