Question

向量的数量积性质：

a

•

b

≤|

a

||

b

|可以用来解决某些最值问题，如：已知m²+n²=1，x²+y²=4，求mx+ny的最大值．只需令

a

=（m，n），

b

=（x，y），则|

a

|=1，|

b

|=2，mx+ny=

a

•

b

≤|

a

||

b

|=1×2=2．利用此方法解决下面问题：已知x，y∈R⁺，且x+y=4，则2

x

+

y

的最大值等于

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用

a

•

b

≤|

a

||

b

|即可得出．

解答： 解：由x，y∈R⁺，且x+y=4，
令

a

=(

x

，

y

)，

b

=（2，1），
∴2

x

+

y

=

a

•

b

≤|

a

| |

b

|=

x+y

×

5

=2

5

，当且仅当

x

2

=

y

1

，x+y=4，即y=

4

5

，x=

16

5

时取等号．
∴2

x

+

y

的最大值等于2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题考查了数量积的性质

a

•

b

≤|

a

||

b

|，属于基础题．