Question

已知定义在（-1，0）上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足-1＜x₁＜x₂＜0的任意x₁，x₂给出下列命题：
（1）当x∈（-1，0）时，x＞f（x）；
（2）当x∈（-1，0）时，导函数f′（x）为增函数；
（3）f（x₂）-f（x₁）≤x₂-x₁；
（4）x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）．
其中正确的命题序号是

 

（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据函数图象，研究对应函数的性质．

解答： 解：对于（1）选项，由图象可以看出，x∈（-1，0）时，直线y=x的图象在函数y=f（x）图象的上方，即x＞f（x），故正确；
对于（2）选项，导函数f′（x）即为y=f（x）图象上任一点处切线的斜率，递增，故正确；
对于（3）选项，等价于x₁-f（x₁）≤x₂-f（x₂），而函数y=x-f（x）的导函数为y′=1-f′（x），其符号先正后负，即函数y=x-f（x）先增后减，故x₁-f（x₁）与x₂-f（x₂）的大小关系不定，故错误；
对于（4）选项，等价于

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

，即函数y=

f(x)

x

在区间（-1，0）上递增，而y=

f(x)

x

在表示函数y=f（x）图象上任一点与坐标原点连线的斜率，由图象知其递增，故正确．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查了识图能力与函数单调性的判断，以及导数的几何意义，属中档题．