Question

过双曲线x²-

y2

2

=1的左焦点F引圆x²+y²=1的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=（　　）

• A、

  2

• B、1
• C、

  2

  -1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，OM，OT．可得OT⊥FT，FT=

OF2-OT2

=

2

.OM=

1

2

PF′，又|PF|-|PF′|=2a=2，利用|MO|-|MT|=

1

2

|PF′|-(

1

2

|PF|-|FT|)即可得出．

解答： 解：如图所示，
设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，OM，OT．
∵OT⊥FT，
∴FT=

OF2-OT2

=

2

．
OM=

1

2

PF′，
PF-PF′=2a=2，
∴|MO|-|MT|=

1

2

|PF′|-(

1

2

|PF|-|FT|)
=|FT|+

1

2

(|PF′|-|PF|)
=

2

-

1

2

×2
=

2

-1．
故选：C．

点评：本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．