Question

如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．
(1) 求、及数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.

Answer 1

(1) ，，；(2) ；(3)见解析.

试题分析：(1)利用导数求直线切线和切线的方程，从而易得的值，再得直线的方程，知点在直线上，所以，既得通项公式；(2)观察图形利用定积分求表达式；(3)分别求得及表达式，再用数学归纳法、二项式定理及导数的方法证明即可.
试题解析：(1) 由，设直线的斜率为，则.
∴直线的方程为.令，得，                       1分
∴， ∴. ∴.
∴直线的方程为.令，得.              2分
一般地，直线的方程为，
由于点在直线上，∴.                        3分
∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴.              4分
（2）
.                                                6分
（3）证明： ,  8分
∴，.
要证明，只要证明，即只要证明.       9分
证法1：（数学归纳法）
①当时，显然成立；
②假设时，成立，则当时，，
而，
，，
时，也成立，由①②知不等式对一切都成立.          14分
证法2：
.
所以不等式对一切都成立.                14分
证法3:令,则,
当时, ,
∴函数在上单调递增. ∴当时, .
∵N, ∴,   即.∴.
∴不等式对一切N都成立.                      14分