Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，S表示三角形的面积，且sin（

π

2

+2B）+2sin（

π

2

-B）+2sin²B=2
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，S=4

3

，求b的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式左边前两项利用诱导公式化简，移项变形后求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将a，S，以及sinB的值代入求出c的值，再由a，c，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）由sin（

π

2

+2B）+2sin（

π

2

-B）+2sin²B=2，得cos2B+2cosB=2（1-sin²B），即2cos²B-1+2cosB=2cos²B，
整理得：cosB=

1

2

，
∵B为三角形内角，
∴B=

π

3

；
（2）∵a=4，S=4

3

，sinB=

3

2

，
∴S=

1

2

acsinB=4

3

，即

1

2

×4c×

3

2

=4

3

，
解得：c=4，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=16+16-16=16，
解得：b=4．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．