Question

以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为pcosθ-psinθ+2=0，曲线C₁的参数方程为

x=4cosθ y=sinθ

（θ为参数），点M（x₀，y₀）在曲线C₁上，动点P（x，y）其坐标满足

x= 1 4 x0 y=y0

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P（x，y）的轨迹为曲线C₂，试判断直线l与曲线C₂的交点个数．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）依题意有

x0=4cosθ y0=sinθ

，结合

x= 1 4 x0 y=y0

，可得

x=cosθ y=sinθ

，消去参数可得；（Ⅱ）易得直线l的直角坐标方程，由圆心到直线的距离和半径的大小关系可判．

解答： 解：（Ⅰ）依题意有

x0=4cosθ y0=sinθ

，
∵

x= 1 4 x0 y=y0

，∴

x=cosθ y=sinθ

，
∴动点P的轨迹方程为x²+y²=1；
（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为x-y+2=0，
由（Ⅰ）知，P的轨迹是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，
∵圆心到直线x-y+2=0的距离为

|0-0+2|

12+(-1)2

=

2

＞1
∴直线l与曲线C₂没有交点．

点评：本题考查参数方程与普通方程的关系，涉及直线与圆的位置关系，属基础题．