Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a-ae^x
（1）若函数f（x）的图象在x=1处切线倾斜角为60°，求a的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）均有f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）的图象在x=1处切线倾斜角为60°，可得f′（1）=tan60°．解出即可；
（2）x₁，x₂∈（0，+∞）均有f（x₁）＜g（x₂）?f（x）_max＜g（x）_min．通过对a分类讨论，利用导数可得函数f（x）的最大值，再利用指数函数的单调性可得g（x）的最小值．

解答： 解：（1）f′(x)=a+

1

x

（x＞0），
∵函数f（x）的图象在x=1处切线倾斜角为60°，∴f′（1）=tan60°．
即a+1=

3

．
∴a=

3

-1．
（2）x₁，x₂∈（0，+∞）均有f（x₁）＜g（x₂）?f（x）_max＜g（x）_min．
当a≥0时，f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，
∵x＞0，∴f′(x)=

ax+1

x

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
故f（x）在（0，+∞）上不存在最大值，
因此a≥0时不合题意．
当a＜0时，f′(x)=

ax+1

x

=0，得x=-

1

a

．
当x∈(0，-

1

a

)时，f（x）单调递增，当x∈(-

1

a

，+∞)时，f（x）单调递减，
故x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)，
而当a＜0时，g（x）=a-ae^x单调递增，g（x）＞g（0）=0，
于时，f（x）_max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)＜0，解得a＜-

1

e

．

点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．