Question

如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆PH，HA，HB，HC构成，其底端三点A，B，C均匀地固定在半径为3m的圆O上（圆O在地面上），P，H，O三点相异且共线，PO与地面垂直．现要求点P到地面的距离恰为3

3

m，记用料总长为L=PH+HA+HB+HC，设∠HAO=θ．
（1）试将L表示为θ的函数，并注明定义域；
（2）当θ的正弦值是多少时，用料最省？

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：综合题,导数的综合应用,空间位置关系与距离

分析：（1）利用L=PH+HA+HB+HC，可将L表示为θ的函数，由点P，H重合，确定函数的定义域；
（2）利用导数，确定函数的单调性，即可求出θ的正弦值，用料最省．

解答： 解：（1）因PO与地面垂直，且三点A，B，C均匀地固定在半径为3m的圆O上，则△AOH，△BOH，△COH是全等的直角三角形，
又圆O的半径为3，所以OH=3tanθ，AH=BH=CH=

3

cosθ

，…（3分）
又PH=3

3

-3tanθ，所以L=3

3

-3tanθ+

9

cosθ

，…（6分）
若点P，H重合，则tanθ=

3

，即θ=

π

3

，所以θ∈(0，

π

3

)，
从而L=3

3

-3tanθ+

9

cosθ

，θ∈(0，

π

3

)．…（8分）
（2）由（1）知L=3

3

-3tanθ+

9

cosθ

=3

3

+3•

3-sinθ

cosθ

，
所以L′=3•

3sinθ-1

cos2θ

，当L'=0时，sinθ=

1

3

，…（12分）
令sinθ0=

1

3

，θ0∈(0，

π

3

)，当θ∈(θ0，

π

3

)时，L'＞0；当θ∈（0，θ₀）时，L′＜0；
所以函数L在（0，θ₀）上单调递减，在(θ0，

π

3

)上单调递增，…（15分）
所以当θ=θ₀，即sinθ=

1

3

时，L有最小值，此时用料最省．…（16分）

点评：本题主要考查了空间想象能力，实际应用能力和建模能力，以及利用导数求函数的最值等有关知识，属于难题．