Question

（文科）设函数f（x）=

2x+a

x+1

（a≠2）．
（1）用反证法证明：函数f（x）不可能为偶函数；
（2）求证：函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减的充要条件是a＞2．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,反证法与放缩法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用偶函数的性质和反证法即可得出；
（2）利用导数与函数单调性的关系、充分必要条件即可得出．

解答： （1）解：假设函数f（x）是偶函数，
则f（-2）=f（2），即

-4+a

-1

=

4+a

3

，解得a=2，
这与a≠2矛盾，
∴函数f（x）不可能是偶函数．
（2）证明：∵f(x)=

2x+a

x+1

，（x≠-1）．
∴f′(x)=

2-a

(x+1)2

．
①充分性：当a＞2时，f′(x)=

2-a

(x+1)2

＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-1）单调递减； 
②必要性：当函数f（x）在（-∞，-1）单调递减时，
有f′(x)=

2-a

(x+1)2

≤0，即a≥2，又a≠2，∴a＞2．
综合①②知，原命题成立．

点评：本题考查了偶函数的性质、反证法、利用导数研究函数单调性、充分必要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和分类讨论的思想方法，属于难题．