某学校计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形ADEF健身场地.如图.A=π2.∠ABC=π6.点D在AC上.点E在斜边BC上.且点F在AB上.AC=40米.设AD=x米．(1)试用x表示S.并求S的取值范围,(2)若矩形健身场地面积不小于1443平方米.求x的取值范围,(3)设矩形健身场地每平方米的造价为37S.再把矩形ADEF以外铺上草� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

某学校计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形ADEF健身场地，如图，A=

，∠ABC=

，点D在AC上，点E在斜边BC上，且点F在AB上，AC=40米，设AD=x米．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）若矩形健身场地面积不小于144

平方米，求x的取值范围；
（3）设矩形健身场地每平方米的造价为

，再把矩形ADEF以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为

，求总造价T关于S的函数T=f（S）；并求出AD的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）利用矩形健身场地面积不小于144

平方米，建立不等式，即可求x的取值范围；
（3）求出总造价，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．

解答： 解：（1）在Rt△EDC中，显然|DC|=40-x，∠ECD=60°
∴|ED|=|DC|tan60°=

（40-x），
矩形ADEF的面积S=|AD||AF|=

x（40-x），x∈（0，40）
于是0＜S≤400

为所求；
（2）∵矩形健身场地面积不小于144

平方米，
∴

x（40-x）≥144

，
∴4≤x≤36；
（3）矩形ADEF健身场地造价T₁=37

又△ABC的面积为800

，即草坪造价T₂=

（800

-S）
由总造价T=T₁+T₂，∴T=25（

384

）≥200

当且仅当

384

即S=384

时等号成立，
此时

x（40-x）=384

，解得x=16或x=24，
∴选取|AD|的长为16米或24米时总造价T最低．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．

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