Question

已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，-cosx），设函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+sin（2A-

π

6

）=1，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求边a的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质确定函数的单调增区间．
（2）根据（1）中函数的解析式，根据f（A）+sin（2A-

π

6

）=1，求得A，根据三角形面积公式求得bc的值，利用余弦定理求得a．

解答： 解：（1）由题意得f（x）=sin2x-

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x=

1

2

-sin（2x+

π

6

），
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，

解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（2）由f（A）+sin（2A-

π

6

）=1得：

1

2

-sin（2A+

π

6

）+sin（2A-

π

6

）=1，
化简得：cos2A=-

1

2

，
又因为0＜A＜

π

2

，解得：A=

π

3

，
由题意知：S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，解得bc=8，
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=49-2×8×（1+

1

2

）=25，
∴a=5

点评：本题只要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，余弦定理的应用．