Question

已知圆O的方程为x²+y²=13，直线l：x₀x+y₀y=13，设点A（x₀，y₀）．
（1）若点A为（3，4），试判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若点A在圆O上，且x₀=2，y₀＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．
①若直线AM过点O，求直线MN的斜率；
②试问：不论直线AM的斜率怎样变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由点A在圆O外，求得圆心到直线的距离d小于半径，可得直线和圆相交．
（2）由条件求得点A（2，3）．①若直线AM过点O，求得AM的斜率，可得AN的斜率kAN=-

3

2

，再利用两条直线的夹角公式求得直线MN的斜率．
②由直线AM和AN的倾斜角互补，可得△AMN为等腰三角形，直线MN平行于x轴，故MN的斜率是0，为定值．

解答： 解：（1）当点A的坐标为（3，4）时，直线l的方程为3x+4y-13=0，
圆心到直线l的距离d=

13

32+42

=

13

5

＜

13

=r，
∴直线l与圆O相交．…（5分）
（2）①由点A在圆O上，且x₀=2，y₀＞0，得y₀=3，即A（2，3）．
由题意，AM是圆的直径，所以点M的坐标为（-2，-3），且kAM=

3

2

．
又直线AM和AN的斜率互为相反数，所以kAN=-

3

2

…（7分）
直线AN的方程为y=-

3

2

x+6，由

y=- 3 2 x+6 x2+y2=13.

得：x2+(6-

3

2

x)2=13，
解得：x=2或x=

46

13

，所以N(

46

13

，

9

13

)
∴直线MN的斜率为kMN=

9 13 +3

46 13 +2

=

48 13

72 13

=

2

3

．…（10分）
②记直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为：y=kx+3-2k．
将y=kx+3-2k代入圆O的方程得：x²+（kx+3-2k）²=13，
化简得：（k²+1）x²+2k（3-2k）x+（3-2k）²-13=0，
∵2是方程的一个根，∴2xM=

(3-2k)2-13

k2+1

，∴xM=

2k2-6k-2

k2+1

，
由题意知：k_AN=-k，同理可得，xN=

2k2+6k-2

k2+1

，…（13分）
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

kxM+3-2k-(-kxN+3+2k)

xM-xN

=k

xM+xN-4

xM-xN

，
∴kMN=k•

2k2-6k-2 k2+1 + 2k2+6k-2 k2+1 -4

2k2-6k-2 k2+1 - 2k2+6k-2 k2+1

=k•

-8 k2+1

-12k k2+1

=

2

3

，
∴不论直线AM的斜率怎样变化，直线MN的斜率总为定值

2

3

．…（16分）

点评：本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于Z中档题．