Question

（理科）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=

π

2

，D，E分别是AB，BB₁的中点，且AC=BC=AA₁=2．
（1）求直线BC₁与A₁D所成角的大小；
（2）求直线A₁E与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）分别以CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC₁与A₁D所成角的大小．
（2）求出平面A₁CD的一个法向量，利用向量法能求出直线A₁E与平面A₁CD所成角的正弦值．

解答： （本小题满分14分）
（理）（1）解：分别以CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．
则由题意可得：A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），
又∵D，E分别是AB，BB₁的中点，
∴D（1，1，0），E（0，2，1）．…（3分）
∴

BC1

=(0，-2，2)，

A1D

=(-1，1，-2)，
∴cos?

BC1

，

A1D

＞=

BC1 • A1D

| BC1 |•| A1D |

=

-6

2 2 × 6

=-

3

2

，…（7分）
∴直线BC₁与A₁D所成角的大小为

π

6

．…（8分）
（2）设平面A₁CD的一个法向量为

e

=(x，y，z)，
由

CA1 • e =0 CD • e =0

，得

2x+2z=0 x+y=0

，∴

e

=(1，-1，-1)，…（10分）
又∵

A1E

=(-2，2，-1)，
∴cos?

A1E

，

e

＞=

A1E • e

| A1E |．| e |

=

-3

3 ×3

=-

3

3

，…（13分）
∴直线A₁E与平面A₁CD所成角的正弦值为

3

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．