Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，对角线AC与BD相交于O，且PD=a，E为棱PC的中点．
（1）求证：PA∥面BED；
（2）求证：AC⊥面PBD；
（3）求直线PA与面PBD所成的角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连OE，由已知条件得OE∥PA，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）由已知条件推导出AC⊥BD，PD⊥AC，由此能证明AC⊥面PBD．
（3）连结PO，由已知条件推导出∠PAO为PA与平面PBD所成的角，由此求出PA与平面PBD所成的角为30°．

解答： 解：（1）连OE，∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA，
又OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．…（4分）
（2）∵底面ABCD是边长为a的正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥面PBD．
（3）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
又AC⊥BD，PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，…（8分）
连结PO，∵AO⊥平面PBD，
∴∠PAO为PA与平面PBD所成的角，…（10分）
又∵PD=AD=α，
∴PA=

2

a，AO=

2

2

a，
∴sin∠PAO=

1

2

，∠PAO=30°，
∴PA与平面PBD所成的角为30°．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．