Question

如图，在四边形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥CD，AF⊥DB，求证：
（1）EF⊥DC；
（2）平面DBC⊥平面AEF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据要证明线线垂直，只需要证线面垂直，要证线面垂直，需要证明线垂直面内的两条相交直线．
（2）先根据条件得到DA⊥BC进而得BC⊥平面DAB，把问题转化为证AF⊥平面DBC即可

解答： 证明：（1）∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴DA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AD=A
∴BC⊥平面ABD，
又AF?平面ABD，
∴BC⊥AF，
∵AF⊥DB，BC∩BD=B，
∴AF⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，
∴AF⊥CD，
∵AE⊥CD，AF∩AE=A
∴CD⊥平面AEF，
∵EF?平面AEF
∴CD⊥EF．
（2）由（1）可得AF⊥平面BCD
而AE?平面AEF
∴平面AEF⊥平面PBC

点评：本题主要考察面面垂直和线面垂直的判定，关键是它们之间的转化，属于中档题．