Question

从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=4，∠A=90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：根据△ABC是等腰直角三角形，四边形DEGH、四边形EFNM都是正方形，可得△BDH、△CFN都是等腰直角三角形，因此可设BD=HD=x，FC=NF=y，可知x+y=1，且两个正方形的面积和为x²+y²，利用基本不等式可得面积之和的最小值．

解答： 解：设HD=x，NF=y   
根据△ABC是等腰直角三角形，四边形DEGH、四边形EFNM都是正方形，可得BD=HD=x，FC=NF=y
因此BC=2BD+2FC=2，得出x+y=1
两个正方形的面积之和等于x²+y²
且 x²+y²≥(

x+y

2

)2=

1

2

故当且仅当x=y=

1

2

时，面积之和的最小值为

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查运用基本不等式处理二元函数的最值问题，属于中档题．认准图形中的几何关系，找出其中的等量关系，建立关系式，是解决本题的关键．