Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AA₁，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点，
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求证：平面B₁FA⊥平面AEF；
(3)求二面角B₁-AE-F的大小。

Answer 1

解：以A为原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系，
由AB=AC=AA₁=2，
可知各点坐标分别为：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
B₁(2，0，2)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，D(1，0，1)，
（1）
设点G（-1，2，0），则，
∴，
，，
∴DE∥平面ABC；
（2）证明：，
∴，
，
∴，
又，
∴，
∵，
∴平面B₁FA⊥平面AEF；
（3）由（2）可知是平面AEF的一个法向量，
设二面角B₁-AE-F的大小为θ，根据已知得θ为锐角，
设平面AEB₁的一个法向量为，
，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴二面角B₁-AE-F的大小为。