Question

1．设函数f（x）=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+m（其中ω＞0，m∈R），且函数f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\frac{π}{6}$，并过点（0，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x₀）=$\frac{11}{5}$，x₀∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数，由题意，函数f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\frac{π}{6}$，说明当x=$\frac{π}{6}$时函数取得最大值，并过点（0，2）．带入即可求函数f（x）的解析式；
（2）将x=x₀带入函数f（x）=$\frac{11}{5}$，x₀∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$]，求解x₀的值，在根据二倍角求解cos2x₀的值．（也可以采用构造角的关系求解）

解答 解：（1）$f（x）=1+cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx+m=2sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）+m+1$
∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，
∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=1
又∵f（x）的图象过点（0，2），∴f（0）=2，即 2sin$\frac{π}{6}$+m+1=2，
解得 m=0，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1
（2）由$f（{x_0}）=\frac{11}{5}$，得2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{11}{5}$，即sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}$≤2x₀+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-{{sin}^2}（2{x_0}+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，
cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$•cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$×（-$\frac{4}{5}$）+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{{3-4\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题考查了三角函数的性质的运用能力和化简能力，对角的灵活运用和变形处理的技巧．属于中档题．