Question

3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x²-2x-3（x＞0）．
（Ⅰ） 若函数g（x）=|f（x）|-a有4个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 求|f（x+1）|≤4的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象，利用函数g（x）=|f（x）|-a有4个零点，转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．
（Ⅱ）令f（x）=4得，$x=2\sqrt{2}+1$或-1，利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x²-2x-3（x＞0），
则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x-3，（x＞0）\\ 0，（x=0）\\-{x^2}-2x+3，（x＜0）\end{array}\right.$．…（2分）
从而可得函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象分别如下图所示．…（4分）


因为函数g（x）=|f（x）|-a有4个零点，
则题设可等价转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．…（5分）
由右上图可知，a=4或0＜a≤3，…（6分）
即：当a=4或0＜a≤3时，函数g（x）=|f（x）|-a有4个零点．…（7分）
（Ⅱ）令f（x）=4得，$x=2\sqrt{2}+1$或-1，…（8分）
因为f（x）是定义在R上的奇函数，当f（x）=-4时，解得$x=-2\sqrt{2}-1$或1…（9分）
结合左上图可知，$|{f（x+1）}|≤4?-2\sqrt{2}-1≤x+1≤2\sqrt{2}+1$，…（10分）
即：$-2\sqrt{2}-2≤x≤2\sqrt{2}$．…（11分）
所以所求解集为$[-2\sqrt{2}-2，2\sqrt{2}]$．             …（12分）

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．