Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边长是a，b，c公差为1的等差数列，且a+b=2ccosA．
（Ⅰ）求证：C=2A；
（Ⅱ）求a，b，c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a+b=2ccosA．利用正弦定理可证C=2A．
（Ⅱ）由a，b，c公差为1的等差数列，得a=b-1，c=b+1，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，利用正弦定理可求a，b，c的值．

解答 （Ⅰ）证明：由已知a+b=2ccosA及正弦定理得sinA+sinB=2sinCcosA…①，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC…②
把②代入①得：sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA，
整理得：sinA=sin（C-A）
又∵0＜A＜π，0＜C-A＜π，
∴A=C-A
故C=2A．
（Ⅱ）由已知得a=b-1，c=b+1，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
整理得：b+4=2（b+1）cosA①
由（Ⅰ）知C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，
由正弦定理得c=2acosA即cosA=$\frac{c}{2a}$=$\frac{b+1}{2（b-1）}$②
由①②整理得：b=5，
∴a=4，b=5，c=6．

点评 本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．