Question

已知圆的方程为x²+y²=r²，圆内有一定点P（a，b），A，B是圆周上的两个动点，PA⊥PB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：设出A、B和Q的坐标，由AB与PQ的中点相同得到A、B和Q的坐标的关系，再由

PA

•

PB

=0得到A、B和Q的坐标的关系，然后结合A，B在圆上及|AB|=|PQ|列式后消掉A，B的坐标，得到关于Q的横纵坐标的函数关系式，则答案可求．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），又P（a，b），
则x₁+x₂=x+a，y₁+y₂=y+b，

PA

=（x₁-a，y₁-b），

PB

=（x₂-a，y₂-b）．
由PA⊥PB，得

PA

•

PB

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+（y₁-b）（y₂-b）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-a（x₁+x₂）-b（y₁+y₂）+a²+b²=0，
即x₁x₂+y₁y₂=ax+by     ①
又∵点A、B在圆上，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=r²，②
再由|AB|=|PQ|，得（x₁-y₁）²+（x₂-y₂）²=（x-a）²+（y-b）²，
整理得：x₁²+y₁²+x₂²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）=（x-a）²+（y-b）²，③
把①②代入③得：x²+y²=2r²-a²-b²+2r²．
∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x²+y²=2r²-a²-b²．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了数学转化思想方法，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题．