Question

已知二面角α-l-β大小为60°，点M、N分别在α、β面内，点P到α、β的距离分别为2和3，则△PMN周长的最小值等于

 

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Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：作出P关于两个平面α，β对称点A、B，连接AB，线段AB与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接AP，BP，由已知条件推导出△PMN周长L=PM+PN+MN=AM+MN+BN=AB，由两点之间线段最短可以得出AB即为△PMN周长的最小值．

解答： 解：如图，作出P关于两个平面α，β对称点A、B，连接AB，
线段AB与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接AP，BP，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN=CD，
则△PMN周长L=PM+PN+MN=AM+MN+BN=AB，
由两点之间线段最短可以得出AB即为△PMN周长的最小值，
根据题意可知：PM=2，PN=3，
∴AP=4，BP=6，
∵大小为60°的二面角α-a-β，
∴∠MON=60°，
∴∠APB=120°，
根据余弦定理有：
AB²=AP²+BP²-2AP•BP•cos∠APB=4²+6²-2×4×6×（-1/2）=76，
∴AB=2

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，
∴△PMN周长的最小值等于2

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故答案为：2

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点评：本题考查三角形周长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．