Question

20．设函数f（x）=x²-ax+b．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx²-ax+1＞0的解集；
（2）当b=3-a时，对任意的x∈（-1，0]都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出a，b的值，解不等式求出其解集即可；
（2）问题转化为a≤${（\frac{{x}^{2}+3}{x+1}）}_{min}$，设t=x+1，则t∈（0，1]，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵不等式x²-ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
∴x=2，x=3是方程x²-ax+b=0的解，
由韦达定理得：a=5，b=6，
故不等式bx²-ax+1＞0为6x²-5x+1＞0，
解不等式6x²-5x+1＞0，
得其解集为{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{1}{2}$}．
（2）据题意x∈（-1，0]，f（x）=x²-ax+3-a≥0恒成立，
则可转化为a≤${（\frac{{x}^{2}+3}{x+1}）}_{min}$，
设t=x+1，则t∈（0，1]，
$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=$\frac{{（t-1）}^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-2关于t递减，
所以${（t+\frac{4}{t}-2）}_{min}$=1+4-2=3，
∴a≤3．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道中档题．