Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

+b，当x=1时，f（x）取得极小值3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，得出

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，解出即可；（Ⅱ）先求出函数的导数，得出函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因为f′(x)=

1

x

-

a

x2

，
所以

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，
所以

a=1 b=2

（Ⅱ）因为f(x)=lnx+

1

x

+2
所以f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

所以f'（x）=0⇒x=1
列表如下

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，2）	2
y'		-		+
y	4-ln2	单调递减		单调递增	5 2 +ln2

因为f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=lne

3

2

-ln4=ln

e 3 2

4

＞0
所以f(x)max=f(

1

2

)=4-ln2，
f（x）_min=f（1）=3．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．