Question

已知函数f（x）=

1

2

x2-2tx+3lnx，g（x）=

x+t

x2+3

，函数f（x）在x=a，x=b处取得极值，其中0＜a＜b．
（1）求实数t的范围；
（2）判断g（x）在[-b，-a]上单调性；
（3）已知g（x）在[-b，-a]上的最大值比最小值大

1

3

，若方程f（x）=m有3个不同的解，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）问题等价于f′(x)=x-2t+

3

x

=0有两个不等正根，进而转化为方程x²-2tx+3=0有两个不等正根a，b，从而转化为二次方程根的分布的问题，由判别式、对称轴、端点处函数值可得不等式组，解出即可；
（2）求导数g′(x)=

(x2+3)-(x+t)2x

(x2+3)2

=

-x2-2tx+3

(x2+3)2

，根据题设得：a+b=2t，ab=3，令h（x）=-x²-2tx+3=-（x+t）²+3+t²程由二次函数的性质可得其最小值，可判断h（x）的符号，进而可判断g′（x）的符号，由此可得单调性；
（3）由（2）可知g（x）在[-b，-a]上单调递增，从而可得g（x）的最大值、最小值，根据最大值比最小值大

1

3

可得方程，解出a，b，从而可得f（x），用导数求出f（x）的极值，由方程f（x）=m有3个不同的解知，f（x）_极小值＜m＜f（x）_极大值，可得m的范围；

解答：解：（1）f′(x)=x-2t+

3

x

=0有两个不等正根，即方程x²-2tx+3=0有两个不等正根a，b，
∴△=4t²-12＞0且f'（x）的对称轴x=t＞0及f'（0）=3＞0，
解得：t＞

3

；
（2）g′(x)=

(x2+3)-(x+t)2x

(x2+3)2

=

-x2-2tx+3

(x2+3)2

，
根据题设得：a+b=2t，ab=3，
令h（x）=-x²-2tx+3=-（x+t）²+3+t²
∵h（x）的对称轴为x=-t=-

a+b

2

，
∴h（x）在[-b，-a]上的最小值为h（-a）=h（-b）=-a²+2at+3=-a²+a（a+b）+3=6＞0，
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[-b，-a]上单调递增；
（3）由（2）可知g（x）在[-b，-a]上单调递增，
g(x)max-g(x)min=g(-a)-g(-b)=

-a+t

a2+3

-

-b+t

b2+3

=

1

3

，
∴

(b-a)(3-ab+t(b+a))

(a2+3)(b2+3)

=

1

3

，
∵a+b=2t，ab=3，0＜a＜b，
解得：a=1，b=3，
∴f(x)=

1

2

x2-4x+3lnx，∴f′(x)=x-4+

3

x

=

(x-1)(x-3)

x

，
∴f（x）在（0，1），（3，+∞）上递增，在（1，3）上递减，
∵f(1)=-

7

2

，f(3)=-

15

2

+3ln3，
∴当-

15

2

+3ln3＜m＜-

7

2

时，方程f（x）=m有3解，
∴m的范围为(-

15

2

+3ln3，-

7

2

)；

点评：本题考查利用导数研究函数的最值、极值、单调性，考查数形结合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．