Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，x＜t}\\{{x}^{2}-6x+10，x≥t}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若?t∈（2，3），?y₀∈R，使得f（x）=y₀有三个不等的实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）∪（1，3]
• B． （0，1）∪（1，3）
• C． （0，1）∪（2，+∞）
• D． （0，1）∪（1，2]

Answer 1

分析 当x≥t时，f（x）=x²-6x+10，其对称轴为x=3，?t∈（2，3），f（x）_min=1，?y₀∈R，使得f（x）=y₀有二个不等的实根，问题转化为存在f（x）=log_ax≥1即可，分类讨论即可求出答案．

解答 解：当x≥t时，f（x）=x²-6x+10，其对称轴为x=3，?t∈（2，3），f（x）_min=f（3）=9-18+10=1，
?y₀∈R，使得f（x）=y₀有二个不等的实根，
∵?t∈（2，3），?y₀∈R，使得f（x）=y₀有三个不等的实根，
∴f（x）=log_ax为减函数，?y₀∈R，使得f（x）=y₀有一个实根，
当0＜x＜t时，f（x）=log_ax，
当0＜a＜1时，f（x）=log_ax为减函数，?y₀∈R，使得f（x）=y₀有一个实根，
当a＞1时，f（x）=log_ax为增函数，f（x）＜log_at，
∴log_at＜1，
解得a¹＜t＜3，
∴1＜a＜3，
综上所述a的取值范围为（0，1）∪（1，3），
故选：B

点评 本题考查了分段函数的问题，以及二次函数和对数函数的性质，需要分类讨论，属于中档题．