Question

球与圆台的上下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3：4，则球的体积与圆台的体积之比为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：设球半径为R，圆台上底半径为r，圆台下底半径为r′，因为球与圆台上下侧面都相切，所以圆台侧面长l=r+r′，结合已知求出r，r′，R之间的关系式，代入球的体积公式和圆台的体积公式，可得答案．

解答： 解：设球半径为R，圆台上底半径为r，圆台下底半径为r′，
因为球与圆台上下侧面都相切，所以圆台侧面长l=r+r′，
又∵球面面积与圆台的侧面积之比为3：4，
∴π﹙r+r′﹚²：4πR²=4：3①
﹙r′-r﹚²+﹙2R﹚²=﹙r+r′﹚²②
解之r′=3r，则R=

3

r，
V_球=

4

3

πR³=

12 3 π

3

r3，
V_台=

1

3

π（r²+r′²+rr′）2R=

26 3 π

3

r3，
V_球：V_台=6：13．
故答案为：6：13

点评：本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台和球的表面积公式和体积公式，是解答的关键．