Question

8．设函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1．
（1）求f（x）的最大值及此时的x值
（2）求f（x）的单调减区间
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1=cos2x+$\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）当2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$时，f（x）取得最大值；
（2）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈Z$，即可求出f（x）的单调减区间；
（3）由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，即可求出f（x）的值域．

解答 解：f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1=cos2x+$\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
（1）当2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$时，f（x）_max=2；
（2）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈Z$，
∴f（x）的单调减区间为[$kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（3）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴-1≤f（x）≤2．
则f（x）的值域为[-1，2]．

点评 本题考查了倍角公式、三角函数的单调性最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．