Question

（2008•临沂二模）过抛物线y²=x的焦点F的直线l的倾斜角θ≥

π

4

，直线l交抛物线于A、B两点，且A点在x轴上方，则|AF|的取值范围是（　　）

• A．(

  1

  4

  ，1+

  2

  2

  ]
• B．[

  1

  4

  ，1)
• C．(

  1

  4

  ，1]
• D．[

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），依题意可求得抛物线y²=x的焦点F（

1

4

，0）与准线方程x=-

1

4

；利用抛物线的定义，将|AF|转化为点A到其准线的距离，通过解方程组即可求得|FA|的最大值，从而可得|AF|的取值范围．

解答：解：设A（x₁，y₁），依题意，抛物线y²=x的焦点F（

1

4

，0），准线方程为x=-

1

4

；
由抛物线的定义知，|FA|=x₁+

1

4

；
当θ=180°时，x₁=0，|FA|=

1

4

，此时直线和抛物线只有一个交点，与题意不符；
当θ=45°时，|FA|最大，此时直线FA的方程为：y=x-

1

4

；
由

y2=x y=x- 1 4

得x²-

3

2

x+

1

16

=0，
解得x=

3

4

+

2

2

或x=

3

4

-

2

2

（舍）．
∴|FA|_max=

3

4

+

2

2

+

1

4

=1+

2

2

．
∴|AF|的取值范围是（

1

4

，1+

2

2

]．
故选A．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查方程思想与等价转化思想，考查运算能力，属于中档题．