Question

11．已知曲线f（x）=x³-3x及曲线y=f（x）上一点P（1，-2）．
（I） 求曲线y=f（x）在P点处的切线方程；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）过P点的切线方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x²-3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．
（2）设切点为（x₀，y₀），求出切点坐标，即可求曲线过点P处的切线方程．

解答 解：（1）∵y=f（x）=x³-3x，
∴y′=f′（x）=3x²-3．
则在P（1，-2）处直线的斜率k₁=f′（1）=0，
∴所求直线的方程为y=-2．
（2）设切点坐标为（x₀，x₀³-3x₀），
则直线l的斜率k₂=f′（x₀）=3x₀²-3，
∴-2-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（1-x₀），
∴x₀³-3x₀+2=（3x₀²-3）（x₀-1），
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$．
x₀=1，所求直线的方程为y=-2
x₀=-$\frac{1}{2}$，所求直线斜率k=3x₀²-3=-$\frac{9}{4}$，
于是所求直线的方程为y-（-2）=-$\frac{9}{4}$（x-1），即y=-$\frac{9}{4}$x+$\frac{1}{4}$．
综上所述，所求直线的方程为y=-2或y=-$\frac{9}{4}$x+$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义，求出切线斜率和方程是解决本题的关键．注意区分在点P处与过点P处的切线方程．