Question

已知定义域为R的数f（x）=-

1

2

+

b

2x+1

是奇函数
（1）求b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-t）+f（t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性即可求b的值；
（2）将不等式进行转化，利用函数奇偶性和单调性之间的关系即可求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=-

1

2

+

b

2

=0，解得b=1．
（2）当b=1时，f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

则（-∞，+∞）上为减函数，
∵f（x）为奇函数，
∴不等式f（t²-t）+f（t²-k）＜0等价为f（t²-t）＜-f（t²-k）=f（k-t²），
∵f（x）是减函数，
∴不等式等价为t²-t＞k-t²，
即2t²-t-k＞0，
则判别式△=1+8k＜0，
解得k＜-

1

8

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，根据奇函数的性质，利用函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．