Question

已知数列{a_n}中，a₁=

1

2

，点（2a_n+1-a_n，2）在直线y=x+1上，其中n=1，2，3…
（1）求证：{a_n-1}为等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b₁=1，S_n=

n+1

2

b_n，令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件2a_n+1-a_n+1=2，从而2（a_n+1-1）=a_n-1，由此能证明{a_n-1}是以

1

2

为公比的等比数列，首项为a1-1=-

1

2

，从而得到a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
（2）S_n=

n+1

2

bn，Sn-1=

n

2

bn-1，两式作差，得

bn

bn-1

=

n

n-1

，利用累加法能求出b_n=n，c_n=a_n•b_n=[-（

1

2

）ⁿ+1]•n=-（

1

2

）ⁿ•n+n，由此利用分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=

1

2

，点（2a_n+1-a_n，2）在直线y=x+1上，
∴2a_n+1-a_n+1=2，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
∴

an+1-1

an-1

=

1

2

，
∴{a_n-1}是以

1

2

为公比的等比数列，首项为a1-1=-

1

2

，
∴a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
（2）解：S_n=

n+1

2

bn，Sn-1=

n

2

bn-1，
两式作差，S_n-S_n-1=

n+1

2

b_n-

n

2

bn-1，
整理，得

bn

bn-1

=

n

n-1

，
∴

bn

bn-1

×

bn-1

bn-2

×…×

b2

b1

=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

，

bn

b1

=n，b1=1，∴b_n=n，
∵c_n=a_n•b_n，
∴c_n=[-（

1

2

）ⁿ+1]•n=-（

1

2

）ⁿ•n+n，
令dn=-n•(

1

2

)n，其和为R_n，
Rn=-1×

1

2

-2×(

1

2

)2-3×(

1

2

)3-…-n×(

1

2

)n，①

1

2

Rn=-1×(

1

2

)2-2×(

1

2

)3-3×(

1

2

)4-…-n×(

1

2

)n+1，
错项相减后

1

2

Rn=-（

1

2

）-（

1

2

）²-（

1

2

）³-…-（

1

2

）ⁿ+n（

1

2

）ⁿ⁺¹
=-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+n(

1

2

)n+1
=(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n+1，
∴Rn=(2+n)(

1

2

)n-2，
∴T_n=R_n+

n(n+1)

2

=（2+n）•（

1

2

）ⁿ+

n(n+1)

2

-2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．