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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),右准线l交x轴于点A,且
AF1
=2
AF2

(Ⅰ)试求椭圆的方程;
(Ⅱ)过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点(如图所示),试求四边形DMEN面积的最大值.
(Ⅰ)由题意,|
F1F2
|=2c=2
,∴A(a2,0),
AF1
=2
AF2
∴F2为AF1的中点
∴a2=3,b2=2
即椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1


(Ⅱ)当直线DE与x轴垂直时,|DE|=2
b2
a
=
4
3

此时|MN|=2a=2
3
,四边形DMEN的面积为
|DE|•|MN|
2
=4

同理当MN与x轴垂直时,也有四边形DMEN的面积为
|DE|•|MN|
2
=4

当直线DE,MN均与x轴不垂直时,设DE:y=k(x+1),代入椭圆方程,消去y得:(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0.
设D(x1,y1),E(x2,y2),则
x1+x2=
-6k2
2+3k2
x1x2=
3k2-6
2+3k2

所以,|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
3
k2+1
2+3k2

所以,|DE|=
k2+1
|x1-x2|=
4
3
(k2+1)
2+3k2

同理,|MN|=
4
3
((-
1
k
)
2
+1)
2+3(-
1
k
)
2
=
4
3
(
1
k2
+1)
2+
3
k2

所以,四边形的面积S=
|DE|•|MN|
2
=
1
2
4
3
(k2+1)
2+3k2
4
3
(
1
k2
+1)
2+
3
k2
=
24(k2+
1
k2
+2)
6(k2+
1
k2
)+13

u=k2+
1
k2
,得S=
24(2+u)
13+6u
=4-
4
13+6u

因为u=k2+
1
k2
≥2

当k=±1时,u=2,S=
96
25
,且S是以u为自变量的增函数,
所以
96
25
≤S<4

综上可知,
96
25
≤S≤4
.即四边形DMEN面积的最大值为4,最小值为
96
25
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

【文科】已知F1(0,-3)、F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+
9
a
(a>0),则点P的轨迹为(  )
A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.不存在

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,离心率为
1
2
,且点(1,
3
2
)在该椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为
6
2
7
,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若方程
x2
25-k
+
y2
k-9
=1表示椭圆,则k的取值范围是(  )
A.(9,17)B.(9,25)C.(9,17)∪(17,25)D.(-∞,9)∪(25,+∞)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知△ABC的周长是16,A(-3,0),B(3,0),则动点C的轨迹方程是(  )
A.
x2
25
+
y2
16
=1
B.
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
C.
x2
16
+
y2
25
=1
D.
x2
16
+
y2
25
=1(y≠0)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点,\直线l:x=4是椭圆C的右准线,F到直线l的距离等于3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上动点,PM⊥l,垂足为M.是否存在点P,使得△FPM为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

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已知椭圆过点(3,0)且离心率为
6
3
,则椭圆标准方程为______.

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已知椭圆
x2
2
+y2=1
的左右焦点分别为F1,F2,若过点P(0,-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点,求△ABF2的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于______.

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