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    【题目】如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一点．

    （1）若分别是的中点，求证：平面；

    （2）求证：不论在何位置，四棱锥的体积都为定值，并求出该定值．

    【答案】（1）见解析；（2）．

    【解析】

    试题分析：（1）连结交于点，连结，易知是的中点，然后利用中位线定理可使问题得证；（2）作交于点，易知平面，由此可求得，从而求得四棱锥的体积．

    试题解析：（1）连结交于点，连结．

    易知是的中点，

    因为分别是的中点，

    所以，且，

    所以四边形是平行四边形，

    所以．

    因为平面平面，

    所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

    （2）作交于点，

    因为平面平面，平面平面平面，

    所以平面，

    易知，

    所以不论在何位置，都有．．．．．12分

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某中学有一调查小组为了解本校学生假期中白天在家时间的情况，从全校学生中抽取人，统计他们平均每天在家的时间（在家时间在小时以上的就认为具有“宅”属性，否则就认为不具有“宅”属性）

    具有“宅”属性

    不具有“宅”属性

    总计

    男生

    20

    50

    70

    女生

    10

    40

    50

    总计

    30

    90

    120

    （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过

    的前提下认为“是否具有‘宅’属性与性别有关？”

    （2）采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生里抽取一个人的样本，其中男生和女生各多少人？

    从人中随机选取人做进一步的调查，求选取的人至少有名女生的概率.

    参考公式：，其中.

    参考数据：

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    5.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是的中点．

    （1）求证：平面平面；

    （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数

    （1）若为曲线的一条切线，求a的值；

    （2）已知，若存在唯一的整数，使得，求a的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数.

    （1）若不等式的解集是，求不等式的解集；

    （2）当时，对任意的都有成立，求实数的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图1，在四棱锥中，底面是正方形， ．

    （1）如图2，设点为的中点，点为的中点，求证: 平面；

    （2）已知网格纸上小正方形的边长为，请你在网格纸上用粗线画图1中四棱锥的府视图（不需要标字母），并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某校高三文科名学生参加了月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机数表法从中抽取名学生的成绩进行统计分析，抽出的名学生的数学、语文成绩如下表.

    （1）将学生编号为:, 若从第行第列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的 个人的编号(下面是摘自随机用表的第四行至第七行)

    （2）若数学优秀率为，求的值；

    （3）在语文成绩为良的学生中，已知，求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）.

    规定：当食品中的有害微量元素的含量在时为一等品，在为二等品，20以上为劣质品.

    （1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；

    （2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为，求随机变量的分布列和数学期望.

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    【题目】已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点 .

    （1）若在线段上，是的中点，证明；

    （2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

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