Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上在第二象限内的一点，且直线的斜率为.

（1）求点的坐标；

（2）过点作一条斜率为正数的直线与椭圆从左向右依次交于两点，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使得

【解析】

（1）由和直线的斜率可得方程；代入椭圆方程解方程即可求得点坐标；（2）由和点坐标得：轴；假设直线：，代入椭圆方程可求得的范围和韦达定理的形式，利用韦达定理表示出，可整理出，从而可得；结合轴可知，进而得到结果.

（1）由及直线的斜率为得直线的方程为：

代入椭圆方程整理得：

解得：或（舍），则：

点的坐标为

（2）由及得：轴

设直线的方程为：

代入椭圆方程整理得：

由直线与椭圆交于，两点得：，

结合，解得：

由韦达定理得：，

直线和的倾斜角互补，从而

结合轴得：，故

综上所述：存在，使得