【题目】若中心在原点的椭圆与双曲线
有共同的焦点,且它们的离心率互为倒数,圆
的直径是椭圆
的长轴,C是椭圆的上顶点,动直线AB过C点且与圆
交于A、B两点,CD垂直于AB交椭圆于点D.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值,并求此时直线AB的方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求得双曲线的焦点坐标和离心率,由此求得椭圆的值,进而求得椭圆标准方程.(2)当直线
斜率不存在时,不能构成三角形
,不符合题意.当直线
的斜率存在且不为零时,设出直线
的方程,得到直线
的方程,计算圆心
到直线
的的距离,由直线和圆相交的弦长公式计算出弦长
.利用直线
的方程和椭圆方程,根据根与系数关系以及弦长公式,计算出弦长
.由此求得
,利用换元法和基本不等式,求得面积的最大值,根据基本不等式等号成立的条件求得直线
的斜率,由此求得直线
的方程.当直线
的斜率为零时,计算出
,不是最大值.
(1)解:双曲线的焦点为
,离心率为
,
由题意,,
,解得:
,
.椭圆方程为
;
(2)解:当直线AB斜率不存在时,不能构成三角形,不符合题意
当AB斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为,直线CD的方程为
圆心到直线AB的距离为
,
直线AB被圆
所截得的弦长
,
由得:
,
,
,
故,
,
令,则
,
故,
当且仅当,即
时,等号成立,
此时,
当直线AB斜率为0,即轴时,
,
面积的最大值为
,这时直线AB的方程为
.
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【题目】某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用.房间定价多少时,宾馆利润最大?
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【题目】用分别表示
的三个内角
所对边的边长,
表示
的外接圆半径.
(1),求
的长;
(2)在中,若
是钝角,求证:
;
(3)给定三个正实数,其中
,问
满足怎样的关系时,以
为边长,
为外接圆半径的
不存在,存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在
存在的情况下,用
表示
.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以
轴为始边做两个锐角
,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为
(1)求的值; (2)求
的值。
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【题目】如图1,在△中,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
,
.将△
沿
折起到△
的位置,使得平面
平面
,
为
的中点,如图2.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求F到平面A1OB的距离.
图1 图2
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【题目】已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数的图像与
的图像有交点,求
的取值范围;
(3)若函数,是否存在实数
使得
最小值为1,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,
是椭圆
上在第二象限内的一点,且直线
的斜率为
.
(1)求点的坐标;
(2)过点作一条斜率为正数的直线
与椭圆
从左向右依次交于
两点,是否存在实数
使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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