Question

11．函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3×{2^x}-24，0≤x≤10\\-{2^{x-5}}+126，10＜x≤20\end{array}\right.$的零点不可能在下列哪个区间上（　　）

• A． （1，4）
• B． （3，7）
• C． （8，13）
• D． （11，18）

Answer 1

分析 由条件可得当0≤x≤10时，f（x）=3×2^x-24为增函数，当10＜x≤20时，f（x）=126-2^x-5递减，分别计算f（1），f（4），f（3），f（7），f（8），f（13），f（11），f（18），判断符号，由函数零点存在定理即可判断零点的存在性．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3×{2^x}-24，0≤x≤10\\-{2^{x-5}}+126，10＜x≤20\end{array}\right.$，
当0≤x≤10时，f（x）=3×2^x-24为增函数，
f（1）=3×2-24=-18＜0，f（4）=3×16-24=24＞0，
由函数零点存在定理可得，f（x）在（1，4）内存在零点；
由f（3）=3×8-24=0，f（7）=3×2⁷-24=364＞0，
再由f（x）在（0，10）递增，则f（x）在（3，7）内不存在零点；
当10＜x≤20时，f（x）=126-2^x-5递减，
由f（8）=3×2⁸-24＞0，f（13）=126-2⁸＜0，
则f（x）在（8，13）可能存在零点；
由f（11）=126-2⁶＞0，f（18）=126-2¹³＜0，
且f（x）在（11，18）为减函数，则f（x）在（11，18）存在零点．
综上可得，f（x）在（3，7）不可能存在零点．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点存在问题的解法，注意运用零点存在定理和函数的单调性，考查运算能力和判断能力，属于基础题．