Question

【题目】(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P-ABCD中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接
（1）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面与面所成二面角的大小为 ， 求的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解答一：因为底面，所以,由底面为长方形，有,而,所以平面.而平面，所以.又因为,点是的中点，所以.而,所以平面.而平面，所以。又,,所以平面

.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.

解答二：如图2，以D为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系。设，

则,,点E是PC的中点，所以,,于是

,即.又已知,而,所以平面.因,,则,所以平面，由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.

（2）

【解析】（2）
解答一：如图1，在面内，延长与交于点G，则DG是平面DEF与平面的交线，由（Ⅰ）知，平面，所以.又因为底面，所以。而,所以平面.故是面与面所成二面角的平面角，设,,有,在RtPDB中，由,得,则,解得.所以.
故当面与面所成二面角的大小为时，.

解答二：
由平面，所以是平面的一个法向量；由（Ⅰ）知平面，所以是平面的一个法向量。若面与面所成二面角的大小为，则,解得.所以.故当面与面所成二面角的大小为时，.