【题目】如题(19)图,三棱锥中,平面,,分别为线段上的点,且
(1)证明:平面.
(2)求二面角的余弦值。
【答案】
(1)
见解答
(2)
【解析】1.证明:由平面,平面,故
由得为等腰直角三角形,故
由,垂直于平面内两条相交直线,故平面.
2.
由1知,为等腰直角三角形,,如(19)图,过点作垂直于,易知又已知,故
由得,故
以为坐标原点,分别以的方程为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则
设平面的法向量
由
得故可取
由(1)可知平面,故平面的法向量可取为,即
从而法向量的夹角的余弦值为
故所求二面角的余弦值为。
【考点精析】掌握向量语言表述线面的垂直、平行关系是解答本题的根本,需要知道要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;设直线的方向向量是,平面内的两个相交向量分别为,若.
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【题目】设的对边分别为且为锐角,问:(1)证明: B - A = ,(2)求 sin A + sin C 的取值范围
(1)(1)证明:
(2)(2)求的取值范围
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【题目】如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
(Ⅰ)求证:BE//平面ADE ;
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
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【题目】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(1)用所给编号列出所有可能的结果;(2)设为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件发生的概率
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【题目】(2015·湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马P-ABCD中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接
(1)证明:平面.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(2)若面与面所成二面角的大小为 , 求的值.
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【题目】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.求:(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
组号 | 分组 | 频数 |
1 | [4,5) | 2 |
2 | [5,6) | 8 |
3 | [6,7) | 7 |
4 | [7,8] | 3 |
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率;
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
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【题目】如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等比三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点。
(I)求证:VB//平面MOC;
(II)求证:平面MOC平面VAB;
(III)求三棱锥V-ABC的体积。
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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