Question

17．如图，在△ABC中，已知，AB=2，AC=3，BC=4，D是BC边上的一点，∠BAD=45°，求tan∠DAC．

Answer 1

分析 在△ABC中由余弦定理求出cos∠BAC，由内角的范围和平方关系求出sin∠BAC，根据“∠DAC=∠BAC-∠BAD”和两角差的余弦公式求出cos∠DAC，由平方关系求出sin∠DAC，由商的关系表示出tan∠DAC，利用完全平方和公式和分母有理化进行化简即可．

解答 解：在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，
则由余弦定理得，cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•AB•AC}$=$\frac{4+9-16}{2×2×3}$=$-\frac{1}{4}$，
∵0＜∠BAC＜180°，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由∠BAD=45°得，cos∠DAC=cos（∠BAC-∠BAD）
=cos（∠BAC-45°）=cos∠BACcos45°+sin∠BACsin45°
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos∠BAC+sin∠BAC）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$-\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{15}-1）}{8}$，
∴sin∠DAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠DAC}$=$\frac{\sqrt{8+\sqrt{15}}}{4}$
∴tan∠DAC=$\frac{sin∠DAC}{cos∠DAC}$=$\frac{\sqrt{8+\sqrt{15}}}{4}×\frac{8}{\sqrt{2}（\sqrt{15}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{8+\sqrt{15}}}{\sqrt{15}-1}$
=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{8+\sqrt{15}}•（\sqrt{15}+1）}{14}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{（8+\sqrt{15}）•（\sqrt{15}+1）^{2}}}{14}$
=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{158+32\sqrt{15}}}{14}$=$\frac{\sqrt{79+16\sqrt{15}}}{7}$
=$\frac{\sqrt{64+2×8×\sqrt{15}+（\sqrt{15}）^{2}}}{7}$=$\frac{8+\sqrt{15}}{7}$．

点评 本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系，以及两角差的余弦公式，考查化简、变形能力．