Question

9．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，面AA₁B₁B⊥面ABC，且∠A₁AB=60°，AA₁=2，△ABC为边长为2的等边三角形，G为△ABC的重心，取BC中点F，连接B₁F与BC₁交于E点：
（1）求证：GE∥面AA₁B₁B；  
（2）求三棱锥B-B₁EA的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AF，由题意知，G在AF上，AG=2GF，由F为BC中点可得三角形相似．再由G为△ABC的重心，得到GE∥AB₁，由线面平行的判定得答案；
（2）由${V}_{B-{B}_{1}EA}$=$\frac{2}{3}{V}_{B-{B}_{1}FA}$=$\frac{2}{3}{V}_{{B}_{1}-BFA}$得答案．

解答 （1）证明：连结AF，由题意知，G在AF上，AG=2GF，
∵F为BC的中点，∴△B₁EC₁∽△FEB，且BE=$\frac{1}{2}E{C}_{1}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，则点F为BC中点．
∵G为△ABC的重心，∴$\frac{FG}{FA}=\frac{FE}{F{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴GE∥AB₁，
又AB₁?面AA₁B₁B，GE?面AA₁B₁B，
∴GE∥面AA₁B₁B；
（2）解：${V}_{B-{B}_{1}EA}$=$\frac{2}{3}{V}_{B-{B}_{1}FA}$=$\frac{2}{3}{V}_{{B}_{1}-BFA}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×{S}_{△BFA}×h$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．