Question

18．（实验班做）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{47}{70}$
• D． $\frac{24}{35}$

Answer 1

分析 从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有${C}_{10}^{4}$种，它可分为两类：4点共面与不共面．求出取出4个不共面的点的不同取法的种数，由此能求出这四个点不共面的概率．

解答 解：从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有${C}_{10}^{4}$=210种，
它可分为两类：4点共面与不共面．
如，4点共面的情形有三种：
①取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC在面ACD内），
这样的取法有$4{C}_{6}^{4}$种；
②取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH与AC、BD平行），
这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC与BD、BC与AD、AB与CD）；
③取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG），这样的取法共6种．
综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为${C}_{10}^{4}$-（4${C}_{6}^{4}$+3+6）=141种．
故这四个点不共面的概率为p=$\frac{141}{210}$=$\frac{47}{70}$．
故选：C．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、等可能事件概率计算公式的合理运用．