Question

8．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求角C；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）分别在△ABD和△BCD中使用余弦定理得出BD，列方程解出cosC；
（2）分别计算△ABD和△BCD的面积再相加．

解答 解：（1连接BD，
在△ABD中，由余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=5-4cosA，
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC，
∴13-12cosC=5-4cosA，
∵A+C=π，∴cosA=-cosC，
∴13-12cosC=5+4cosC，
则cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A+C=π，∴sinA=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_ABD=$\frac{1}{2}AB•AD•sinA$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD•sinC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴四边形ABCD的面积为S_ABD+S_△BCD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于中档题．