Question

19．如图，在四棱锥P一ABCD中，PC=AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥N一AMC的体积．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理AC²+BC²=AB²证明BC⊥AC，由线面垂直PC⊥平面ABCD证明BC⊥PC，即可证明BC⊥平面PAC；
（2）点N是PB的中点，由线线平行得出M、N、C、D四点共面，点N为过C、D、M三点的平面与线段PB的交点；再由BC⊥平面PAC，N为PB的中点，求出点N到平面PAC的距离d，求出S_△ACM，即可计算V_{三棱锥N-AMC}．

解答 解：（1）证明：连接AC，在直角梯形ABCD中，
AC=$\sqrt{{AD}^{2}{+DC}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{{（AB-CD）}^{2}{+AD}^{2}}$=2$\sqrt{2}$
∴AC²+BC²=AB²，即BC⊥AC；
∵PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PC；
又AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC；
（2）点N是PB的中点，理由如下；
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴MN∥AB，
又∵AB∥DC，∴MN∥CD，
∴M、N、C、D四点共面，
即点N为过C、D、M三点的平面与线段PB的交点；
∵BC⊥平面PAC，N为PB的中点，
∴点N到平面PAC的距离d=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$；
如图所示，
S_△ACM=$\frac{1}{2}$S_△PAC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•PC•AC=$\frac{1}{4}$×2×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$
∴V_{三棱锥N-AMC}=$\frac{1}{3}$S_△AMC•d=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是综合性题目．