Question

已知抛物线y²=4x截直线y=2x+b所得的弦长为|AB|=5．
（1）求实数b的值；
（2）试在x轴上求一点P，使得△APB的面积为9

5

．

Answer 1

分析：（1）联立方程

y2=4x y=2x+b

可得，4x²+4（b-1）x+b²=0由△＞0有  16（b-1）²-16b²＞0得b的范围，再由 AB=3

5

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

可求b值；
（2）设P（x₀，0），先求点P（a，0）到AB：2x-y-4=0距离公式，再根据

1

2

|AB|d=39，可求P得坐标．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₁，y₂）．
联立方程组  

y2=4x y=2x+b

，消去y，整理并化简得  4x²+（4b-4）x+b²=0．
则    

△=(4b-4)2-16b2＞0                 ① x1+x2=1-b                              ② x1x2= b2 4                                    ③

…（2分）
因为  |AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，即|AB|=

(x1-x2)2+(2x1+b-2x2-b)2

，
即|AB|=

5(x1-x2)2

，即|AB|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

④
将②、③代入④得   |AB|=

5

•

(1-b)2-b2

，即|AB|=

5

•

1-2b

，…（3分）
令  

5

•

1-2b

=5解得  b=-2．…（4分）
当b=-2时，上述不等式①成立．
因此  所求实数b的值为-2．…（5分）
（2）由（1）知   AB所在的直线方程为2x-y-2=0．
设当点P的坐标为（a，0）（a∈R）时，△APB的面积为9

5

．
此时点P到直线AB的距离为d=

|2a-2|

22+(-1)2

，即d=

|2a-2|

5

．…（7分）
于是△APB的面积为    S=

1

2

•

|2a-2|

5

•5=|a-1|•

5

，…（8分）
令   |a-1|•

5

=9

5

，解得    a=10或-8．
所以  所求的点P的坐标为（10，0）或（-8，0）．…（10分）

点评：本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示由AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，这是圆锥曲线的考查的热点之一．