Question

2．已知函数f（x）=|log₄x|，实数m、n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m²，n]的最大值为2，则$\frac{n}{m}$=16．

Answer 1

分析 根据f（x）的单调性判断m，n的范围，利用对数的运算性质得出mn=1，根据f（x）的单调性得出f（m²）=2，从而可解出m，n的值．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{4}x，0＜x＜1}\\{lo{g}_{4}x，x≥1}\end{array}\right.$，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
∵f（m）=f（n），
∴m＜1＜n，且-log₄m=log₄n，∴mn=1．
∴m²＜m＜1，
∵f（x）在[m²，n]的最大值为2，
∴f（m²）=2，即-log₄m²=2，解得m=$\frac{1}{4}$，
∴n=4，
∴$\frac{n}{m}$=16．
故答案为：16

点评 本题考查了对数函数的性质，属于中档题．