Question

10．已知函数f（x）=x-$\frac{2a-1}{x}$-2alnx，（a∈R）
（Ⅰ）当a=$\frac{3}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=$\frac{3}{2}$时，$f（x）=x-\frac{2}{x}-3lnx$，求出$f'（x）=1+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{{x^2}-3x+2}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-2}）}}{x^2}$，
      根据导数的符号确定单调区间．
（Ⅱ）要使f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，只需：f（x）_min≥0，
     根据导数确定单调性，求出最值即可得到实数a的取值范围

解答 解：（Ⅰ）当a=$\frac{3}{2}$时，$f（x）=x-\frac{2}{x}-3lnx$
则$f'（x）=1+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{{x^2}-3x+2}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-2}）}}{x^2}$，
此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（0，1），（2，+∞）上单调递增．…（5分）
（Ⅱ）要使f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，只需：f（x）_min≥0，
$f'（x）=1+\frac{2a-1}{x^2}-\frac{2a}{x}=\frac{{{x^2}-2ax+（{2a-1}）}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-（{2a-1}）}）}}{x^2}$，
令f′（x）=0，得：x₁=2a-1，x₂=1，
①当2a-1≤1即a≤1时，函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
则f（x）在[1，+∞）单调递增，于是f（x）_min=f（1）=2-2a≥0，解得：a≤1；
②当2a-1＞1即a＞1时，函数f（x）在[1，2a-1]单调递减，在[2a-1，+∞）单调递增，
于是f（x）_min=f（2a-1）＜f（1）=2-2a＜0，不合题意，此时：a∈∅；
综上所述：实数a的取值范围是{a|a≤1}…（12分）

点评 本题考查了利用导数求函数单调区间，函数的最值，属于中档题．