Question

19．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，-2），点B（1，-1），P为圆x²+y²=2上一动点，则$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，设P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），利用向量坐标运算求出和两点之间的距离公式，转化为斜率问题即可求出．

解答 解：∵P为圆x²+y²=2上一动点，∴设P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），（0≤θ＜2π）．
∵点A（0，-2），点B（1，-1），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1-$\sqrt{2}$cosθ，-1-$\sqrt{2}$sinθ），$\overrightarrow{PA}$=（0-$\sqrt{2}$cosθ，-2-$\sqrt{2}$sinθ）
∴$\frac{|\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{\sqrt{（1-\sqrt{2}cosθ）^{2}+（1+\sqrt{2}sinθ）^{2}}}{\sqrt{（\sqrt{2}cosθ）^{2}+（2+\sqrt{2}sinθ）^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}•\frac{-1-\sqrt{2}cosθ}{-3-\sqrt{2}sinθ}}$，
把$\frac{-1-\sqrt{2}cos}{-3-\sqrt{2}sinθ}$看成是点（-1，-3）与圆x²+y²=2一点P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）的斜率问题．
设k=$\frac{-1-\sqrt{2}cos}{-3-\sqrt{2}sinθ}$，求k的最小值可得$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值．
设过（-1，-3）的直线方程为：y+3=k（x+1），即kx-y+k-3=0，
圆心到直线的距离等于半径：即d=$\sqrt{2}$=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得k=-7或1．即k的最小值为-7．
∴$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆的参数方程和三角函数的有界限的运用．计算量大，属于中档题．