Question

15．已知不等式|2x-3|＜x与不等式x²-mx+n＜0（m，n∈R）的解集相同．
（Ⅰ）求m-n；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，1），且ab+bc+ac=m-n，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 （I）解不等式|2x-3|＜x得出x²-mx+n＜0（m，n∈R）的解集，从而可求得m，n；
（II）利用基本不等式得出（a+b+c）²的最小值，从而得出a+b+c的最小值．

解答 解：（I）∵|2x-3|＜x，∴-x＜2x-3＜x，解得1＜x＜3，
∴x²-mx+n＜0的解集为（1，3），
∴1，3是x²-mx+n=0的两根，即$\left\{\begin{array}{l}{1-m+n=0}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得m=4，n=3．
∴m-n=1．
（II）由（1）得ab+bc+ac=1，．
∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac=2，
∴a²+b²+c²≥1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥1+2=3．
∴a+b+c≥$\sqrt{3}$．当且仅当a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．